CONFIDENCE INTERVAL ESTIMATE FOR THE MEAN

Di post saya yang lalu tentang distribusi sampling rata-rata, telah dicontohkan bagaimana menghitung peluang didapatkannya suatu sampel acak yang memiliki rata-rata \$ \bar{x} \$ apabila sampel tersebut diambil dari suatu populasi yang memiliki rata-rata μ dan simpangan baku σ. Sekarang, bagaimana cara melakukan penaksiran/estimasi terhadap rata-rata populasi (μ) apabila diketahui sampel yang kita ambil dari populasi tersebut memiliki rata-rata \$ \bar{x} \$ dan simpangan baku s? Perhatikan suatu contoh kasus berikut.


Contoh 1
Seorang peneliti di bidang pertumbuhan balita tertarik untuk mengetahui berapa rata-rata berat bayi (yang baru lahir) di suatu daerah. Untuk itu ia melakukan sampling terhadap berat 9 orang bayi di daerah itu, dan ternyata rata-rata berat 9 orang bayi tersebut adalah 3,7 kg dengan simpangan baku 0,2 kg. Apabila rata-rata berat bayi di daerah tersebut berdistribusi normal, berapakah rata-rata berat bayi di daerah tersebut? Kita ingin 95% yakin terhadap jawaban yang diberikan.

Dalam statistika, pertanyaan yang diajukan pada Contoh 1 merupakan suatu tipikal pertanyaan menyangkut penaksiran parameter populasi. Pada contoh tersebut kita diminta menaksir rata-rata populasi. Parameter populasi yang ditaksir ini, secara umum, bisa merupakan rata-rata (seperti Contoh 1 di atas), bisa merupakan variansi, bisa merupakan proporsi, bisa merupakan selisih rata-rata dua populasi, dan sebagainya. Jadi, dalam kesempatan lain kita bisa diminta untuk menaksir variansi suatu populasi berdasarkan hasil sampling yang kita lakukan. Dalam kesempatan lain kita bisa diminta untuk menaksir selisih rata-rata dua buah populasi berdasarkan hasil sampling yang kita lakukan, dan seterusnya. Namun kali ini kita secara khusus akan membahas penaksiran rata-rata populasi.

Mengenai penaksiran, secara umum

Dalam statistika, terdapat dua macam penaksiran, yaitu penaksiran titik dan penaksiran selang. Misalkan kita diminta untuk menaksir rata-rata populasi berat bayi yang baru lahir di suatu daerah dengan cara sampling. Ternyata berat bayi hasil sampling memiliki rata-rata 3,7 kg. Apabila nilai 3,7 kg ini digunakan sebagai nilai taksiran rata-rata populasi berat bayi yang baru lahir, maka nilai tersebut dinamakan taksiran titik (point estimate) bagi rata-rata berat bayi yang baru lahir di daerah tersebut. Namun, yang diminta oleh pertanyaan pada Contoh 1 bukanlah taksiran titik. Pada contoh tersebut kita diminta taksiran selang (interval estimate) bagi rata-rata berat bayi yang baru lahir di daerah tersebut dengan derajat kepercayaan 95%. Dengan kata lain, kita ingin 95% yakin terhadap hasil yang kita berikan.

Bagaimana cara melakukan penaksiran selang rata-rata?

Terdapat tiga buah rumus yang dapat digunakan, tergantung dari situasi yang dihadapi.

Setiap rumus di atas mensyaratkat dipenuhinya kondisi-kondisi tertentu agar rumus tersebut berlaku.


Syarat Penggunaan Rumus (1): Sampel diambil dari populasi yang berdistribusi normal

Langkah-langkah Penggunaan Rumus (1)


  1. Hitunglah α = 1 - γ dan α/2. γ menyatakan derajat kepercayaan.
  2. Dengan menggunakan tabel nilai kritis Distribusi Student (Distribusi t), carilah nilai \$ t_{{\alpha}/2,v} \$ dengan ν = n - 1 (ν menyatakan derajat kebebasan/degree of freedom).
  3. Substitusikan nilai-nilai \$ \bar{x}, \: t_{{\alpha}/2,v} \$, s, dan n yang sudah diketahui ke dalam rumus (1). Diperolehlah selang kepercayaan yang diminta.

 Penyelesaian Contoh 1
Pada contoh ini, \$ \bar{x} = 3,7 \: kg \$, s = 0,2 kg, n = 9, dan γ = 95% = 0,95 Diketahui pula populasi berdistribusi normal, sehingga rumus (1) boleh dipergunakan.

Langkah 1
α = 1 – 0,95 = 0,05.
α/2 = 0,05/2 = 0,025

Langkah 2
ν = 9 - 1 = 8
Dari tabel nilai kritis distribusi t, diperoleh \$t_{0,025;8} = 2,306 \$.

Langkah 3
Substitusikan nilai-nilai yang telah didapat di atas ke dalam rumus (1):
Dari sini diperoleh selang kepercayaan 3,55 kg < μ < 3,85 kg.

Jadi, kita 95% yakin bahwa rata-rata berat bayi yang baru lahir di daerah itu berada di kisaran antara 3,55 kg dan 3,85 kg.


Syarat Penggunaan Rumus (2)
  1. Simpangan baku populasi (σ) diketahui
  2. Populasi berdistribusi normal atau n ≥ 30

Langkah-langkah Penggunaan Rumus (2)
  1. Hitunglah α = 1 - γ dan α/2. γ menyatakan derajat kepercayaan.
  2. Dengan menggunakan tabel luas daerah di bawah kurva normal baku, carilah nilai \$z_{{\alpha}/2} \$ sedemikian hingga \$P[z > z_{{\alpha}/2}] = {\alpha}/2 \$. Tabel berikut ini dapat membantu: Tabel Nilai Kritis z
  3. Substitusikan nilai-nilai \$ \bar{x} \$, \$z_{{\alpha}/2} \$, σ, dan n yang sudah diketahui ke dalam rumus (2). Diperolehlah selang kepercayaan yang diminta.

Contoh 2
Untuk melakukan estimasi terhadap rata-rata banyaknya uang yang dihabiskan per bulan untuk membeli rokok, seseorang melakukan sampling terhadap 16 orang perokok dan dari sampel tersebut diperoleh nilai rata-rata Rp 300 ribu. Jika simpangan baku populasi banyaknya uang yang dihabiskan per bulan untuk membeli rokok adalah Rp 30 ribu dan populasi ini berdistribusi normal, tentukanlah selang kepercayaan 95% bagi rata-rata banyaknya yang dihabiskan per bulan untuk membeli rokok populasi tersebut.

Jawab:
Pada contoh ini, \$ \bar{x} = Rp \: 300 \: ribu \$, σ = Rp 30 ribu, n = 16, dan γ = 95% = 0,95. Karena simpangan baku populasi diketahui dan populasi berdistribusi normal, rumus (2) boleh dipergunakan.

Langkah 1
α = 1 – 0,95 = 0,05.
α/2 = 0,05/2 = 0,025

Langkah 2
Dari tabel luas daerah di bawah kurva normal baku diperoleh bahwa \$ P[z > 1,96] \approx 0,025 \$ sehingga \$z_{0,025} = 1,96 \$. (Atau bisa juga menggunakan tabel berikut: Tabel Nilai Kritis z)

Langkah 3
Substitusikan nilai-nilai yang telah didapat di atas ke dalam rumus (2):
Dari sini diperoleh selang kepercayaan 95%: Rp 285.300 < μ < Rp 314.700.
Jadi, kita 95% yakin bahwa rata-rata banyaknya uang yang dihabiskan per bulan untuk membeli rokok adalah antara Rp 285.300 dan Rp 314.700.


Contoh 3
Untuk melakukan estimasi terhadap rata-rata banyaknya uang yang dihabiskan per bulan untuk membeli rokok, seseorang melakukan sampling terhadap 50 orang perokok dan dari sampel tersebut diperoleh nilai rata-rata Rp 300 ribu. Jika simpangan baku populasi banyaknya uang yang dihabiskan per bulan untuk membeli rokok adalah Rp 30 ribu, tentukanlah selang kepercayaan 95% bagi rata-rata banyaknya yang dihabiskan per bulan untuk membeli rokok populasi tersebut.

Jawab:
Pada contoh ini, \$ \bar{x} =  Rp \:300 \: ribu \$, σ = Rp 30 ribu, n = 50, dan γ = 95% = 0,95. Syarat pertama penggunaan rumus (2) dipenuhi, yaitu simpangan baku populasi diketahui. Dalam contoh ini populasi tidak diketahui berdistribusi normal. Namun, karena n ≥ 30, syarat kedua pun dipenuhi, sehingga rumus (2) boleh digunakan.

Langkah 1
α = 1 – 0,95 = 0,05.
α/2 = 0,05/2 = 0,025

Langkah 2
Dari tabel luas daerah di bawah kurva normal baku diperoleh bahwa P[z > 1,96] ≈ 0,025 sehingga \$z_{0,025} = 1,96 \$. (Atau bisa juga menggunakan tabel berikut: Tabel Nilai Kritis z)

Langkah 3
Substitusikan nilai-nilai yang telah didapat di atas ke dalam rumus (2):
Dari sini diperoleh selang kepercayaan 95%: Rp 291.684 < μ < Rp 308.316.
Jadi, kita 95% yakin bahwa rata-rata banyaknya uang yang dihabiskan per bulan untuk membeli rokok adalah antara Rp 291.684 dan Rp 308.316.


Pada Contoh 2, simpangan baku populasi diketahui. Bagaimana apabila yang diketahui adalah simpangan baku sampel dan simpangan baku populasi tidak diketahui? Dalam hal ini rumus (3) dapat digunakan dengan syarat n ≥ 30.


Syarat Penggunaan Rumus (3): Ukuran sampel tidak kurang dari 30

Langkah-langkah Penggunaan Rumus (3)
  1. Hitunglah α = 1 - γ dan α/2. γ menyatakan derajat kepercayaan.
  2. Dengan menggunakan tabel luas daerah di bawah kurva normal baku, carilah nilai \$ z_{{\alpha}/2} \$ sedemikian hingga \$ P[z > z_{{\alpha}/2}] = {\alpha}/2 \$.
  3. Substitusikan nilai-nilai \$ \bar{x}\$, \$ z_{{\alpha}/2} \$, s, dan n yang sudah diketahui ke dalam rumus (3). Diperolehlah selang kepercayaan yang diminta.
Contoh 4
Untuk menaksir rata-rata populasi lamanya pendengar suatu radio menikmati suatu acara di radio, seseorang melakukan sampling terhadap 100 penggemar acara tersebut dan dari hasil sampling tersebut diperoleh rata-rata 90 menit dengan simpangan baku 10 menit. Tentukan selang kepercayaan 97% bagi rata-rata populasi lamanya mendengar acara tersebut.

Jawab:
Pada contoh ini, \$ \bar{x} = 90 \: menit \$, s = 10 menit, n = 100, dan γ = 97% = 0,97. Karena n ≥ 30, rumus (3) boleh digunakan.

Langkah 1
α = 1 – 0,97 = 0,03.
α/2 = 0,03/2 = 0,015

Langkah 2
Dari tabel luas daerah di bawah kurva normal baku diperoleh bahwa P[z > 2,17] ≈ 0,015 sehingga \$ z_{0,015} = 2,17 \$.

Langkah 3
Substitusikan nilai-nilai yang telah didapat di atas ke dalam rumus (3):
Dari sini diperoleh selang kepercayaan 97%: 87,83 menit < μ < 92,17 menit.
Jadi, kita 97% yakin bahwa rata-rata lamanya mendengarkan acara di radio tersebut berada dalam kisaran antara 87,83 menit dan 92,17 menit.


LATIHAN SOAL









Comments

Post a Comment